Funciones recursivas
Números de Fibonacci
f0=0, f1=1, f2=1, f3=2, f4=3, f5=5, f6=8, f7=13, f8=21...
Los dos primeros números son el 0 y el 1. El tercero f2, se obtiene sumando el primero y segundo. El cuarto f3, se obtiene sumando el segundo y tercero y así, sucesivamente.
fn=fn-1+fn-2, n=2,3,4,...
Podemos crear un función fibonacci recursiva del siguiente modo
function y=fibonacci(n) if n==0 y=0; elseif n==1 y=1 else y=fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); end end
Probamos la función fibonacci en la ventana de comandos para calcular el término 8 de la sucesión
>> fibonacci(8) ans = 21
Creamos una versión que devuelve la serie de números de Fibonacci f0, f1, ...fn
function Y=fibonacci_1(n) Y=[0,ones(1,n)]; for i=3:n+1 Y(i)=Y(i-1)+Y(i-2); end end
>> fibonacci_1(8) ans = 0 1 1 2 3 5 8 13 21
Factorial de un número
Definiremos una nueva versión de la función que calcula el factorial de un número n, n!, que denominaremos, factorial_r.
n!=n·(n-1)·(n-2)...3·2·1
function res=factorial_r(n) if n==0 res=1; else res=n*factorial_r(n-1); end end
Probamos la función factorial_r en la ventana de comandos para calcular el factorial de 4, 4!, será
>> factorial_r(4) ans = 24
Polinomios de Hermite
Los primeros seis polinomios de Hermite son los siguientes.
H0(x)=1
H1(x)=2x
H2(x)=4x2-2
H3(x)=8x3-12x
H4(x)=16x4-48x2+12
H5(x)=32x5-160x3+120x
Todos los polinomios de Hermite de orden n>2 se pueden expresar en términos de los dos primeros polinomios H0(x) y H1(x), de orden cero y uno respectivamente, mediante la siguiente relación de recurrencia.
El código de la función recursiva hermite que calcula los valores del polinomio Hn(x) es muy simple. A dicha función se le pasa el orden n del polinomio de Hermite y la abscisa x y devuelve el resultado del cálculo.
function res=hermite(n, x) if n==0 res=1; elseif n==1 res=2*x; else res=2*x*hermite(n-1,x)-2*(n-1)*hermite(n-2,x); end end
Probamos la función hermite en la ventana de comandos para calcular H5(2)
>> hermite(5,2) ans = -16
Triángulo de Pascal
![](pascal.gif)
El triángulo de Pascal es una disposición de números tales que cada fila corresponde a los coeficientes del binomio (a+b)m. Por ejemplo la fila 3 es (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3
Como podemos apreciar la fila m, se puede obtener a partir de la fila m-1, observando que Rm(i)=Rm-1(i-1)+Rm-1(i), para i=2,....m. Con Rm(1)=1 y Rm(m+1)=1
function Y =pascal(m) if m==1 Y=[1,1]; else Y=pascal(m-1); A=zeros(1,m-1); for i=1:m-1 A(i)=Y(i)+Y(i+1); end Y=[1,A,1]; end end
>> pascal(5) ans = 1 5 10 10 5 1
El número π
Para calcular la longitud de una circunferencia, comenzamos con el perímetro de un cuadrado, después con un octógono, un polígono regular de 16 lados y así, sucesivamente
En la figura se muestra un polígono regular de ocho lados
n=2^3; %ocho lados x0=cos(pi/n); y0=sin(pi/n); for i=1:n x1=cos(pi/n+2*i*pi/n); y1=sin(pi/n+2*i*pi/n); line([x0,x1],[y0,y1]) x0=x1; y0=y1; end axis equal grid on ylim([-1.1,1.1])
![](lado.gif)
Calculamos la longitud del lado an un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia de radio R, (en color rojo).
Del mismo modo, obtenemos la longitud del lado de un polígono regular inscrito de 2n lados (en color azul)
Teniendo en cuenta la relación trogonométrica
Establecemos la relación entre an y a2n y por tanto, entre el perímetro Pn del polígono regular de n lados y el perímetro P2n del polígono regular de 2n lados.
Tomando R=1, empezamos con el cuadrado
Definimos la función auxiliar recursiva calculo_pi que calcula la parte
function z = calculo_pi(n) if n>0 z=sqrt(2+calculo_pi(n-1)); else z=0; end end
En el script, calculamos el resto del perímetro dividido entre dos y lo comparamos con el número π
format long for n=1:10 z=2^n*sqrt(2-calculo_pi(n-1)); end disp([z; pi])
3.141591421504635 3.141592653589793