Gráficos bidimensionales (II)
fill
El comando fill rellena áreas del color especificado
En este ejempo, dibujamos una elipse y un polígono de 10 lados inscrito en la elipse. Calculamos el área del polígono con la función polyarea
%elipse a=2; b=5; t=linspace(0, 2*pi, 200); x=a*cos(t); y=b*sin(t); hold on plot(x,y,'b') %polígono t=linspace(0, 2*pi, 11); x=a*cos(t); y=b*sin(t); fill(x,y,'y') plot(x,y,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') hold off title('área de un polígono') disp(['Area = ' num2str(polyarea(x, y))])
Area = 29.3893
El área de la elipse es πab=π·2·5=31.4159
Dibujamos dos funciones y=-x2 e y=-x2+8, que se cortan en los puntos ±2 y rellenamos el área comprendida entre las dos funciones. Para encerrar el área (véase la figura más abajo) especificamos la primera función y=-x2 entre -2 y +2 y la segunda y=-x2+8, entre +2 y -2. Para ello, invertimos el sentido de los vectores x e y mediante la función fliplr. Esta función hace que el último elemento del vector x pasa a ser el primero.
hold on fplot('x^2',[-3,3]) fplot('-x^2+8',[-3,3]) x=-2:0.05:2; fill([x,fliplr(x)],[x.^2,fliplr(-x.^2+8)],'c') hold off grid on xlabel('x') ylabel('y') title('área')
stem
Se ha analizado una señal periódica y los coeficientes bn (seno) del desarrollo en serie de Fourier tienen la expresión
Representamos mediante stem la contribución de cada uno de los armónicos (n=1,2,3...) al desarrollo en serie de Fourier de la función.
n=1:11; bn=(-1).^n*2./(n*pi); stem(bn) title('Espectro de frecuencias') xlabel('n') ylabel('b_n') xlim([0 12])
bar
Se han realizado las siguientes observaciones de la velocidad del viento en una estación meteorológica. Medimos el número de horas en las que la velocidad del viento tenía un valor medio comprendido entre 0 y 1 m/s, entre 1 y 2, ... entre 22 y 23.
Velocidad | 0.5 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 4.5 | 5.5 | 6.5 | 7.5 | 8.5 | 9.5 | 10.5 | 11.5 | 12.5 | 13.5 | 14.5 | 15.5 | 16.5 | 17.5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Horas | 6 | 31 | 30 | 50 | 69 | 75 | 60 | 59 | 69 | 61 | 43 | 44 | 54 | 43 | 21 | 11 | 7 | 4 |
Velocidad | 18.5 | 19.5 | 20.5 | 21.5 | ||||||||||||||
Horas | 2 | 1 | 1 | 3 |
Vamos a representar las frecuencias mediante un diagrama de barras.
x=0.5:21.5; horas=[6,31,30,50,69,75,60,59,69,61,43,44,54,43,21,11,7,4,2,1,1,3]; frec=horas/sum(horas); bar(frec,'c'); title('Distribución Weibull') xlabel('Observación') ylabel('Frecuencia')
Histogramas, hist
El intervalo (a, b) que abarca todos los datos, se divide en subintervalos. El histograma es un diagrama de barras verticales en el que la anchura de cada barra se corresponde con el tamaño del subintervalo y la altura con el número de datos en dicho subintervalo.
Por defecto, MATLAB divide el intervalo (a,b) en 10 subintervalos de la misma anchura.
y=[53,50,93,89,91,80,59,69,56,64,69,63,74,82,84,91, 63,66,48,56,73,73,66,64,74,63,69,58,73,73]; hist(y) xlabel('T') ylabel('n') title('Temperaturas')
>> min(y) ans = 48 >> max(y) ans = 93
El valor mínimo del vector y es 48 y el valor máximo es 93, la diferencia es de 45, por lo que el tamaño de cada subintervalo es 4.5. El primer subintervalo va de 48 a 52.5 está centrado en 50.25 y contiene dos datos. El segundo subintervalo va de 52.5 a 57, está centrado en 54.75 y contiene tres datos. Dos subintervalos: (75 a 79.5) y (84 a 88.5) no contienen datos
>> [N,X]=hist(y) N = 2 3 2 7 3 6 0 3 0 4 X = 50.2500 54.7500 59.2500 63.7500 68.2500 72.7500 77.2500 81.7500 86.2500 90.7500
La función hist, devuelve el número de datos N en cada subintervalo y el centro X de cada uno de ellos
La función randn devuelve números aleatorios comprendidos entre 0 y 1 tomados de una distribución normal, cuyo valor medio es x0 y cuya desviación estándar es sigma. Se compara el diagrama de barras con la representación gráfica de la función de distribución
x0=1; % valor medio sigma=0.5; % desviación estándar xp=x0+sigma*randn(1,10000); %vector de N números aleatorios hold on [n,xs]=hist(xp, 25); bar(xs, n); xlabel('Valores') ylabel('Número de datos') f=@(x) max(n)*exp( -(x-x0).^2/(2*sigma^2)); fplot(f,[-0.5,2.5],'r') hold off
Es posible cambiar el valor por defecto. Se le puede suministrar a la función hist un vector x, cuyos valores son los centros de cada uno de los subintervalos tal como vemos en la figura, los subintervalos pueden tener distinta anchura.
Se miden las temperaturas a lo largo de un periodo de 30 días en una ciudad. La temperatura mínima es a=5 grados y la máxima b=35 grados. Dividimos el intervalo en tres subintervalos centrados en 10, 20 y 30 grados que nos indican el número de días con temperatura fría, templada y cálida.
Las temperaturas se generan de forma aleatoria mediante la función rand
a=5; %temperatura mínima b=35; %temperatura máxima T=round(a+(b-a)*rand(30,1)); %30 temperaturas al azar x=a+5:10:b; hist(T,x) hg=findobj(gca,'Type','patch'); %color set(hg,'FaceColor','c','EdgeColor','k') xlabel('Temperatura') ylabel('n. de días') title('Temperatura en una ciudad')
semilog, loglog
Son útiles cuando hacemos representaciones gráficas de funciones exponenciales o potenciales. Representamos la función 10·exp(-2·x) utilizando el comando semilogy.
x=linspace(0,3); y=10*exp(-2*x); semilogy(x,y) grid on
Representamos la siguiente función en un diagrama doblemente logarítmico
con a=24, b=0.32 y c=0.52
a=24; b=0.32; c=0.52; f=@(x) ((a./x).^c+b^c).^(1/c); x=logspace(-2,6,100); loglog(x,f(x)) grid on xlabel('x') ylabel('y') title('loglog')
polar
![polar](polares.gif)
Las coordenadas polares especifican un punto en términos de la distancia (radio) al origen r y el ángulo θ que forma con el eje X.
La espiral logarítmica es una de las curvas notables junto a la catenaria, la cicloide, etc. La ecuación de la espiral logarítmica en coordenadas polares es
r=r0·exp(b·θ)
Donde r0 es el radio inicial, b es un parámetro, y θ es el ángulo en radianes.
r0=0.4; b=0.05; ang=0:pi/18:9*pi/2; r=r0*exp(b*ang); polar(ang,r,'r') title('Espiral logarítmica')
Utilizando la función pol2cart, que convierte coordendas polares a coordenadas rectangulares, obtenemos un resultado similar mediante el comando plot en vez del comando polar
r0=0.4; b=0.05; ang=0:pi/18:9*pi/2; r=r0*exp(b*ang); [x,y]=pol2cart(ang,r); plot(x,y,'r') axis equal title('Espiral logarítmica') grid on
En Internet se pueden encontrar las ecuaciones de curvas polares como las cardiodes
r=b+a·cosθ
r=b+a·sinθ
en los siguientes casos: b<a, a<b<2a, 2a≤b. El primero es el más interesante.
Otra curva es la denominada pétalos de una rosa
r=a·cos(nθ)
donde n es el número entero: 2, 3, 4, 6...
La lemniscata de Bernoulli
r2=2a2cos(2θ)
Manejadores de los gráficos
Siempre que MATLAB crea un gráfico, crea un manejador (handle) para este gráfico. Vamos a ver mediante ejemplos como se pueden cambiar las propiedades del gráfico mediante manejadores.
La función plot devuelve el manejador del gráfico actual, mediante la función set se pueden cambiar sus propiedades.
>> x=0:pi/30:2*pi; >> hg=plot(x,sin(x)); >> set(hg,'color','r','linewidth',3)
El gráfico que inicialmente tenía color azul (por defecto) cambia a color rojo. La anchura de línea cambia a tres.
gca es una referencia (handle) que identifica los ejes de la gráfica y a través de este manejador podemos cambiar el aspecto de los ejes. xTick es la propiedad (división del eje horizontal) y a continuación, se pone el nuevo valor de dicha propiedad 0:pi/2:2*pi.
x = 0:.02:2*pi; y = cos(x); plot(x,y) set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'}) set(gca,'YTick',-1:0.25:1)
De esta forma, podemos cambiar las divisiones por defecto de los ejes X e Y.
En este ejemplo, las divisiones XTick del eje X tienen un nombre XTickLabel muy largo y es necesario girarlas XTickLabelRotation, para que sean legibles
x=1:6; y=[13,5,7,14,10,2]; plot(x,y,'o',x,y) set(gca,'XTick',x); set(gca,'XTickLabel',{'Julio','Agosto','Septiembre','Octubre', 'Noviembre','Diciembre'}, 'XTickLabelRotation',15) xlabel('Mes') ylabel('Ventas') title('Ventas mensuales')
Combinando ejes lineales y logarítmicos
Podemos utilizar plotyy para comparar dos gráficas que tinene distintas escalas
a=1000;b=0.005; t=0:900; y1=a*exp(-b*t); y2=sin(b*t); [ha,h1,h2] = plotyy(t,y1,t,y2,'semilogy','plot'); axes(ha(1)) %eje de la izquierda ylabel('Semilogarítmico') axes(ha(2)) %eje de la derecha ylabel('Lineal') set(h2,'linewidth',1.5) %gráfica 2
Dibujamos la primera función y1 a escala semilogarítmica y la segunda función y2 a escala normal. El comando plotyy devuelve una referencia (handle) a los ejes en ha, una referencia al primer gráfico en h1 y una referencia al segundo en h2. Como hay dos ejes ha es un vector de dos elementos, ha(1) es una referencia al eje izquierdo y ha(2) al eje derecho. Modificamos la anchura de línea del segundo gráfico h2 con la función set.
Edición en la ventana de los gráficos
Escribimos en la ventana de comandos
>> x=0:pi/40:2*pi; >> plot(x,cos(x))
En la ventana de los gráficos (Figure Window) podemos cambiar las propiedades de un gráfico. Seleccionamos Tools->Edit Plot
Se selecciona el gráfico con el cursor, aparecen cuadrados de color negro (handles), se pulsa el botón derecho del ratón estando el gráfico seleccionado, aparece el menú de la figura, que nos permite cambiar varias propiedades del gráfico: color, anchura y estilo de línea, marcador, etc.
Se puede utilizar el menú Insert para establecer las etiquetas de los ejes (xlabel, ylabel), el título (title), legend, etc. Dibujar líneas, elipses, rectángulos, insertar textos, etc.
Seleccionando Show Property Editor, o bien, en el menú View->Property Editor o en el menú Edit->(Figure Properties, Axes properties, Current Object Properties, Colormap) aparece una ventana que nos permite cambiar las propiedades del gráfico de forma interactiva. Pulsamos en el botón More properties... aparece una tabla (Inspector) de propiedades del objeto seleccionado que podemos modificar.
La edición interactiva en la ventana de los gráficos, nos permite prepararlos para presentaciones, pero escasamente se utilizará en los cálculos, por lo que queda al lector la tarea de explorar sus numerosas opciones, consultando el extenso documento MATLAB Graphics
Ejemplos en el curso de Física
plot
La mayor parte de las porciones de código MATLAB, terminan con una representación gráfica, por lo que la lista de páginas en las que se utiliza el comando plot es demasiado numerosa para mencionarlas en este apartado.
fplot
Se dispara un proyectil contra un blanco móvil
Movimiento sobre una superficie semicircular cóncava
Movimiento sobre una superficie cóncava en forma de cicloide
Un modelo de colisiones inelásticas
polar
Interferencia de ondas producidas por varias fuentes
Medidas de la velocidad y dirección del viento
pie
stem
Análisis armónico de las mareas
Análisis de Fourier de los desplazamiento de las olas
bar, barh
Movimiento de caída de los cuerpos
Macroestado, microestados. Temperatura, entropía
Análisis de las alturas y periodos de las olas
Medidas de la velocidad y dirección del viento
Función de distribución de Weibull
quiver
fill
Apuntar un cañón para dar en el blanco
Alcance máximo en un plano inclinado
Respuesta de un oscilador a una fuerza impulsiva (I)
Distribución de la energía entre las moléculas de un gas ideal
Potencial periódico. Modelo de Kronig-Penney
El oscilador armónico cuántico
El espejo esférico y el espejo parabólico (I)
Análisis de las alturas y periodos de las olas
Función de distribución de Weibull
Función de distribución de Rayleigh
subplot
Un bloque desliza a lo largo de un plano inclinado y deforma un muelle
Medida de la velocidad de una bala
Un depósito de arena que se mueve sobre una pista horizontal
Solución numérica de las ecuaciones del movimiento
Movimiento de una caja sobre una cinta transportadora