Números complejos

Un número complejo se escribe z=x+iy. x es la parte real, y es la parte imaginaria. i = 1 es la unidad imaginaria

Forma polar de un número complejo

z = x + i y { x = r · cos θ y = r · sin θ { r = x 2 + y 2 tan θ = y x z = r · cos θ + i r · sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ

>> 3+i*4
ans = 3.0000+4.0000i 
>> complex(1,2)
ans =   1.0000 + 2.0000i
>> z=2*exp(i*pi/6)
z =   1.7321 + 1.0000i 
>> z1=2*cos(pi/6)+i*2*sin(pi/6)
z1 =   1.7321 + 1.0000i

Son idénticos los números complejos

z 1 =rexp( iθ ) z 2 =rexp( i(θ+2kπ) )k=0,±1,±2,±3...

Las funciones MATLAB que se aplican a estos números son:

abs(z) Módulo del número complejo z
angle(z) Argumento (en radianes) del número complejo z. El ángulo está comprendido entre -π y +π
conj(z) Número complejo conjugado de z
real(z) Devuelve la parte real del número complejo z
imag(z) Devuelve la parte imaginaria del número complejo z

z=x+iy | z |= x 2 + y 2 θ={ tan 1 ( y x )x>0y>0 π tan 1 ( y | x | )x<0y>0 ( π tan 1 ( | y | | x | ) )x<0y<0 tan 1 ( | y | x )x>0y<0

Expresamos un número complejo en forma polar

>> abs(4+i*3)
ans = 5
>> angle(4+i*3)
ans = 0.6435
>> 5*exp(i*0.6435)
ans =   4.0000 + 3.0000i
>> angle(4-i*3)*180/pi
ans = -36.8699
>> angle(-4-i*3)*180/pi+360
ans = 216.8699

MATLAB expresa los ángulos en el intervalo (-π, π) o bien (-180, 180) Si el ángulo es negativo le sumamos 2π ó 360 para que se exprese en el intervalo (0, 2π), o bien (0,360)

Operaciones con números complejos

Podemos hacer operaciones con números complejos, tales como suma, diferencia, producto, cociente, potencia y raíz

z 1 = x 1 +i y 1 = r 1 exp(i θ 1 ) z 2 = x 2 +i y 2 = r 2 exp(i θ 2 ) z 1 + z 2 =( x 1 + x 2 )+i( y 1 + y 2 ) z 1 z 2 =( x 1 x 2 )+i( y 1 y 2 ) z 1 * z 2 = r 1 r 2 expi( θ 1 + θ 2 ) z 1 * z 2 =( x 1 x 2 y 1 y 2 )+i( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 expi( θ 1 θ 2 ) z 1 z 2 = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 )+i( x 2 y 1 x 1 y 2 ) x 2 2 + y 2 2

>> (2+i*5)+(3-i*2)
ans = 5.0000 +  3.0000i
>> (2+i*5)*(3-i*2)
ans = 16.0000 +11.0000i
>>  (2+i*5)/(3-i*2)
ans  = -0.3077 + 1.4615i

Comprobamos el producto de dos números complejos en forma polar

>> z1=2*exp(i*pi/6)
z1 =   1.7321 + 1.0000i
>> z2=3*exp(i*pi/4)
z2 =   2.1213 + 2.1213i
>> z=z1*z2
z =   1.5529 + 5.7956i
>> abs(z)
ans =    6.0000
>> angle(z)
ans =    1.3090
>> pi/6+pi/4
ans =    1.3090

La multiplicación de los números complejos

z1=r·exp(iθ1) y z2=exp(iθ2)
z=z1*z2=r·exp(i(θ1+ θ2))

equivale a la rotación de z1 un ángulo θ2.

La fórmula de Moivre es una interesante aplicación de la forma polar de un número complejo

( e iθ ) n = e inθ ( cosθ+isinθ ) n =cos(nθ)+isin(nθ)

La potencia n de un número complejo z se calcula por la fórmual de Moivre del siguiente modo

z n = r n ( cos(nθ)+isin(nθ) )

El producto de números complejos nos conduce a la fórmula del coseno de la suma de dos ángulo y la del seno de la suma de dos ángulo

z 1 * z 2 = r 1 (cos θ 1 +isin θ 1 ) r 2 (cos θ 2 +isin θ 2 )= r 1 r 2 ( (cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 )+i(cos θ 1 sin θ 2 +sin θ 1 cos θ 2 ) ) z 1 * z 2 = r 1 r 2 exp( i( θ 1 + θ 2 ) )= r 1 r 2 ( cos( θ 1 + θ 2 )+isin( θ 1 + θ 2 ) ) { cos( θ 1 + θ 2 )=cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 sin( θ 1 + θ 2 )=cos θ 1 sin θ 2 +sin θ 1 cos θ 2

Complejo conjugado

Para cada número complejo z=x+iy=r·exp(iθ), existe un número complejo conjugado

z=x+iy=rexp(iθ) z ¯ =xiy=rexp(iθ) z* z ¯ =(x+iy)*(xiy)= x 2 + y 2 z* z ¯ =rexp(iθ)*rexp(iθ)= r 2

El producto de un número complejo por su correspondiente conjugado nos da el cuadrado del módulo

>> z=3+4*i;
>> abs(z)
ans =     5
>> z1=conj(z)
z1 =   3.0000 - 4.0000i
>> z*z1
ans =    25

Parte real Re(z) e imaginaria Im(z) de un número complejo z=x+iy es devuelto por las funciones real(z) e imag(z)

real(x+iy)=x
imag(x+iy)=y

Otra forma alternativa de calcular la parte real e imaginaria de un número compejo es

Re(z)= z+ z ¯ 2 Im(z)= z z ¯ 2i

Raíces de un número complejo

La raíz n de un número complejo z es

z k = r n exp( i θ+2πk n )k=0...n1

Para calcular la raíz cúbica del número complejo z=3+4i, escribimos

>> z=3+4*i;
>> n=3;
>> k=0:n-1;
>> z1=nthroot(abs(z),n)*exp(i*(angle(z)+2*pi*k)/n)
>> compass(z1)
z1 =   1.6289 + 0.5202i  -1.2650 + 1.1506i  -0.3640 - 1.6708i

El comando compass nos permite representar gráficamente un número complejo o un vector de números complejos en el plano.

Las raíces de la ecuación z8=1 son

z k =exp( i 2πk 8 )=cos 2πk 8 +isin 2πk 8 ,k=0,1,2...7 ±1,±i,±( 1+i ) 2 2 ,±( 1i ) 2 2

Las raíces de la ecuación zn=c, se sitúan en un círculo y forman los vértices de un polígono regular de n lados.

Creamos un script para determinar las raíces de un número complejo

z=input('Número complejo: ');
N=input('Raíz: ');
n=0:N-1;
z1=nthroot(abs(z),N)*exp(i*(angle(z)+2*pi*n)/N)
compass(z1)

Propiedades geométricas

Distancia entre dos puntos del plano

| z 1 z 2 |= ( x 1 x 2 ) 2 + ( y 1 y 2 ) 2

Desigualdad entre los lados de un triángulo

| z 1 + z 2 || z 1 |+| z 2 |

Comprobar esta desigualdad para z1=7+i y z2=3+5i

>> z1=7+i;
>> z2=3+5*i;
>> d=abs(z1-z2)
d =    5.6569
>> s=abs(z1+z2)
s =   11.6619
>> d1=abs(z1)
d1 =    7.0711
>> d2=abs(z2)
d2 =    5.8310
>> s<d1+d2 %es |z1+z2|≤|z1|+|z2|
ans =     1 %verdadero