Números complejos
![](polar.gif)
Un número complejo se escribe z=x+iy. x es la parte real, y es la parte imaginaria. es la unidad imaginaria
Forma polar de un número complejo
>> 3+i*4 ans = 3.0000+4.0000i >> complex(1,2) ans = 1.0000 + 2.0000i >> z=2*exp(i*pi/6) z = 1.7321 + 1.0000i >> z1=2*cos(pi/6)+i*2*sin(pi/6) z1 = 1.7321 + 1.0000i
Son idénticos los números complejos
Las funciones MATLAB que se aplican a estos números son:
abs(z) | Módulo del número complejo z |
---|---|
angle(z) | Argumento (en radianes) del número complejo z. El ángulo está comprendido entre -π y +π |
conj(z) | Número complejo conjugado de z |
real(z) | Devuelve la parte real del número complejo z |
imag(z) | Devuelve la parte imaginaria del número complejo z |
Expresamos un número complejo en forma polar
>> abs(4+i*3) ans = 5 >> angle(4+i*3) ans = 0.6435 >> 5*exp(i*0.6435) ans = 4.0000 + 3.0000i >> angle(4-i*3)*180/pi ans = -36.8699 >> angle(-4-i*3)*180/pi+360 ans = 216.8699
MATLAB expresa los ángulos en el intervalo (-π, π) o bien (-180, 180) Si el ángulo es negativo le sumamos 2π ó 360 para que se exprese en el intervalo (0, 2π), o bien (0,360)
Operaciones con números complejos
Podemos hacer operaciones con números complejos, tales como suma, diferencia, producto, cociente, potencia y raíz
>> (2+i*5)+(3-i*2) ans = 5.0000 + 3.0000i >> (2+i*5)*(3-i*2) ans = 16.0000 +11.0000i >> (2+i*5)/(3-i*2) ans = -0.3077 + 1.4615i
Comprobamos el producto de dos números complejos en forma polar
>> z1=2*exp(i*pi/6) z1 = 1.7321 + 1.0000i >> z2=3*exp(i*pi/4) z2 = 2.1213 + 2.1213i >> z=z1*z2 z = 1.5529 + 5.7956i >> abs(z) ans = 6.0000 >> angle(z) ans = 1.3090 >> pi/6+pi/4 ans = 1.3090
La multiplicación de los números complejos
z1=r·exp(iθ1) y z2=exp(iθ2)
z=z1*z2=r·exp(i(θ1+ θ2))
equivale a la rotación de z1 un ángulo θ2.
![](rotacion.gif)
La fórmula de Moivre es una interesante aplicación de la forma polar de un número complejo
La potencia n de un número complejo z se calcula por la fórmual de Moivre del siguiente modo
El producto de números complejos nos conduce a la fórmula del coseno de la suma de dos ángulo y la del seno de la suma de dos ángulo
Complejo conjugado
Para cada número complejo z=x+iy=r·exp(iθ), existe un número complejo conjugado
El producto de un número complejo por su correspondiente conjugado nos da el cuadrado del módulo
>> z=3+4*i; >> abs(z) ans = 5 >> z1=conj(z) z1 = 3.0000 - 4.0000i >> z*z1 ans = 25
Parte real Re(z) e imaginaria Im(z) de un número complejo z=x+iy es devuelto por las funciones real(z) e imag(z)
real(x+iy)=x
imag(x+iy)=y
Otra forma alternativa de calcular la parte real e imaginaria de un número compejo es
Raíces de un número complejo
La raíz n de un número complejo z es
Para calcular la raíz cúbica del número complejo z=3+4i, escribimos
>> z=3+4*i; >> n=3; >> k=0:n-1; >> z1=nthroot(abs(z),n)*exp(i*(angle(z)+2*pi*k)/n) >> compass(z1) z1 = 1.6289 + 0.5202i -1.2650 + 1.1506i -0.3640 - 1.6708i
El comando compass nos permite representar gráficamente un número complejo o un vector de números complejos en el plano.
Las raíces de la ecuación z8=1 son
Las raíces de la ecuación zn=c, se sitúan en un círculo y forman los vértices de un polígono regular de n lados.
Creamos un script para determinar las raíces de un número complejo
z=input('Número complejo: '); N=input('Raíz: '); n=0:N-1; z1=nthroot(abs(z),N)*exp(i*(angle(z)+2*pi*n)/N) compass(z1)
Propiedades geométricas
Distancia entre dos puntos del plano
Desigualdad entre los lados de un triángulo
Comprobar esta desigualdad para z1=7+i y z2=3+5i
>> z1=7+i; >> z2=3+5*i; >> d=abs(z1-z2) d = 5.6569 >> s=abs(z1+z2) s = 11.6619 >> d1=abs(z1) d1 = 7.0711 >> d2=abs(z2) d2 = 5.8310 >> s<d1+d2 %es |z1+z2|≤|z1|+|z2| ans = 1 %verdadero